> <\body> <\expand|make-title> <\address> <\with|paragraph mode|center> email : michel.gosse@ac-poitiers.fr\ > Cet article est la traduction en français du document d'introduction sur Maxima, écrit par Richard Hand, de l'Université de Cornell. Ce document a été produit par le logiciel (voir ), qui s'interface avec Maxima et permet une présentation en notation mathématique standard des résultats produits par ce logiciel de calcul formel. <\expand|table-of-contents|toc> |Table des matières>

|1Introduction>

|2Les touches et les symboles spéciaux>

|3Arithmétique>

|4Algèbre>

|5Calcul différentiel>

|6Calcul matriciel>

|7Programmer avec Maxima>

|8Une liste partielle des fonctions Maxima>

Pour lancer Maxima sous Windows, double-cliquer sur le fichier xmaxima, qui est situé dans le sous-répertoire d'installation du logiciel. Sous Linux, on peut taper dans une console soit maxima, ce qui lance le logiciel en mode texte, soit xmaxima, qui le lancera en mode graphique. Dans tous les cas, on obtient un message ressemblant à : <\session|maxima|default> <\output> GCL (GNU Common Lisp) \ Version(2.4.0) Wed May \ 9 12:02:00 CDT 2001 Licensed under GNU Library General Public License Contains Enhancements by W. Schelter Maxima 5.6 Wed May 9 12:01:49 CDT 2001 (with enhancements by W. Schelter). Licensed under the GNU Public License (see file COPYING) \; <\input|<\with|color|red> (C1) > \; (C1) est une étiquette. Chaque entrée ou sortie est numérotée et on peut s'y référer par son étiquette durant toute une session maxima. Le C indique une entrée ( Command ), et le D une sortie ( Display ). Il ne faudra donc jamais employer de variables telles que C1 ou D5, car cela prêtera à confusion. Maxima ne distingue pas les caractères en majuscule et en minuscule; Si vous entrez sin(x) ou SIN(x), cela désignera la fonction sinus pour le logiciel. Par contre, pour les réponses qu'il renvoie, le logiciel emploiera systématiquement une notation en majuscule. Cette règle ne s'applique pas aux variables définies par l'utilisateur; par exemple, les variables x et X sont distinctes pour Maxima. Testez-le ... <\expand|enumerate-numeric> <\with|line stretch|0.3cm> <\with|line stretch|0cm> Pour arrêter une session maxima, taper . Si vous tapez CTRL C, alors voici ce que Maxima va afficher :\ <\code> Correctable error : Console interrupt Signalled by Macysgma-top-level If continued : Type :r to resume execution, or :q to quit to top level Broken at SYSTEM:TERMINAL-INTERRUPT Type :H for Help Maxima\ \:q <\with|paragraph mode|left> <\with|paragraph mode|left> A l'invite de Maxima, il faut donc taper :q ( ou :t ) pour arrêter le calcul en cours et retourner au prompt de Maxima. Si on entre :r, le calcul continuera. L'appui sur les touches CRTL Y n'aura aucun effet à part celui d'être indiqué à l'écran. Enfin, CRTL Z aura le même effet que la commande quit(); On note CTRL C l'appui simultané sur les touches CONTROLE et C du clavier. Pour arrêter un calcul sans quitter Maxima, tapez CTRL C. Il est important de connaître ce que l'on doit faire dans ce cas, qui peut se produire si vous lancez un calcul qui dure trop longtemps. Rappelez-vous de taper :q à l'invite MAXIMA\\ qui apparaîtra, afin de revenir à l'écran de saisie des commandes de Maxima.\ Afin de signaler à Maxima la fin d'une entrée de commande, il faut mettre à la fin de la saisie un point-virgule, puis appuyer sur la touche ENTREE. Remarquez que le seul appui sur la touche ENTREE n'est pas suffisant pour faire exécuter une commande par Maxima. Une autre façon de signaler la fin d'une commande est d'utiliser le symbole dollar, qui supprimera l'affichage du résultat du calcul. Ceci est utile si vous évaluez un résultat intermédiaire très long, et que vous ne voulez pas perdre de temps à afficher ce résultat à l'écran. Si vous voulez répéter une commande antérieure, par exemple celle désignée par l'invite (C5), vous pouvez le faire sans retaper la commande en faisant précéder l'étiquette par deux simples quottes ( '' ), ce qui donnera ''C5. Notez que si vous évaluez juste C5, cela ne correspondra pas à l'action recherchée. Si vous voulez vous référez au résultat du calcul précédent fait par Maxima, vous pouvez soit utiliser son étiquette D, soit utiliser le symbole pourcentage ( % ). Les constantes ( exponentielle de 1 ), ( le nombre complexe tel que =-1> ) et > sont désignées par respectivement %E ( ou %e ), %I ( ou %i ) et %PI ( ou %pi ). Remarquez que le % employé ici n'a aucun rapport avec le % désignant le résultat précédemment calculé par Maxima. Afin d'affecter une valeur à une variable, Maxima utilise le signe deux-points ( : ), et non pas le signe égal. Le signe égal sert à écrire une équation. \ Les opérations fondamentales sont : <\expand|itemize-dot> l'addition notée + la soustraction notée - la multiplication des réels notée * la division notée / l'élévation à la puissance notée ^ ou ** la multiplication matricielle notée . la fonction racine carrée notée sqrt Les sorties de Maxima se font en valeur exacte. Par exemple : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > 1/100+1/101; <\output> <\with|mode|math> >> \; Si on emploie des nombres irrationnels, alors ceux-ci sont conservés sous forme symbolique : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > (1+sqrt(2))^5; <\output> <\with|mode|math> >+1> \; <\input|<\with|color|red> (C4) > expand(%); <\output> <\with|mode|math> >29*+41> \; Toutefois, il est souvent utile d'obtenir une valeur approchée d'un résultat. Cette opération s'effectue en faisant suivre l'expression demandée de la commande , : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > %,numer; <\output> <\with|mode|math> >82.01219330881976> \; Notez que le % se réfère ici au résultat du calcul précédent. Par défaut, la commande donne 16 chiffres significatifs, le dernier pouvant être erroné. Toutefois, Maxima peut calculer avec une précision arbitraire aussi importante que l'on veut grâce à la fonction : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > bfloat(D3); <\output> 8.201219330881976B1 \; Le nombre de décimales est contrôlé par la variable Maxima , qui a par défaut la valeur 16 : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > fpprec; <\output> <\with|mode|math> >16> \; Assignons à cette variable la valeur 100 : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > fpprec:100; <\output> <\with|mode|math> >100> \; <\input|<\with|color|red> (C9) > bfloat(D3); <\output> 8.2012193308819756415248973002081244278520484385931494122123712401731 \ 2418754011041266612384955016056B1 \; Maxima peut calculer les valeurs exactes de très grand nombres : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > 100!; <\output> <\with|mode|math> >93326215443944152681699\ 238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976\ 156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000> \; L'importance de Maxima comme logiciel de calcul formel appairait clairement quand nous voyons avec quelle facilité le logiciel va effectuer des calculs algébriques. Voici un exemple de développement d'un polynôme : <\session|maxima|default> <\output> \; <\input|<\with|color|red> (C1) > (x+3*y+x^2*y)^3; <\output> <\with|mode|math> >x*y+3*y+\ x> \; <\input|<\with|color|red> (C2) > expand(%); <\output> <\with|mode|math> >x*y+9*x<\ rsup|4>*y+27*x*y+27*y+3*x*y+18*x*y+27*x*y+3*x*y+9*x*y+x> \; \; Supposons maintenant que nous voulons remplacer par la valeur > dans l'expression précédente : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > d2,x=5/z; <\output> <\with|mode|math> >|z>+<\ frac|675*y|z>+>+|z>+>+|z>+\ >+|z>+|z>+27*y> \; La fonction RATSIMP de Maxima réduit l'expression au même dénominateur : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > ratsimp(%); <\output> <\with|mode|math> >*z+135*y*z+675*y+225*y*z+2250*y+125*z+5625*y+1875*y*z+9375*y*z+15625*y|z>> \; Les expressions peuvent être factorisées : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > factor(%); <\output> <\with|mode|math> >3*y*z+5*z+25*y|z>> \; Maxima peut trouver les valeurs exactes des solutions de systèmes d'équations algébriques, même dans des cas non linéaires. Dans l'exemple suivant, on résout trois équations dont les inconnues sont , et : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > a+b*c=1; <\output> <\with|mode|math> >b*c+a=1> \; <\input|<\with|color|red> (C8) > b-a*c=0; <\output> <\with|mode|math> >b-a*c=0> \; <\input|<\with|color|red> (C9) > a+b=5; <\output> <\with|mode|math> >b+a=5> \; <\input|<\with|color|red> (C10) > solve([d7,d8,d9],[a,b,c]); <\output> <\with|mode|math> >a=*i+25|6**i-34>,b=*i+5|*i+11>,c=*i+1|10>,a=*i-25|6**i+34>,b=*i-5|*i-11>,c=-\ *i-1|10>> \; Remarquez que la sortie consiste en une " liste ", c'est à dire en une expression comprise entre deux crochets [ ... ], qui contient elle-même deux listes. Chacune de ces dernières contient une solution au système d'équations. Les formules trigonométriques se manipulent aisément avec Maxima. La fonction TRIGEXPAND utilise la formule de la somme afin de simplifier au maximum l'argument de chacune des fonctions trigonométriques utilisées : <\session|maxima|default> \; <\input|<\with|color|red> (C1) > sin(u+v)*cos(u)^3; <\output> <\with|mode|math> >cos u*sin v+u> \; <\input|<\with|color|red> (C2) > trigexpand(%); <\output> <\with|mode|math> >cos u*cos u*sin v+sin u*cos v> \; Inversement, la fonction TRIGREDUCE transforme une expression trigonométrique en une somme de termes dont chacun ne comporte qu'une seule fois la fonction sinus ou la fonction cosinus : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > trigreduce(d1); <\output> <\with|mode|math> >v+4*u+sin v-2*u|8>+v+2*u+3*sin v|8>> \; Les fonctions REALPART et IMAGPART renvoient respectivement la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > w:3+k*%i; <\output> <\with|mode|math> >i*k+3> \; <\input|<\with|color|red> (C5) > w^2*%e^w; <\output> <\with|mode|math> >i*k+3*e> \; <\input|<\with|color|red> (C6) > realpart(%); <\output> <\with|mode|math> >e*9-k*cos k-6*e*k*sin k> \; <\input|<\with|color|red> (C7) > imagpart(D5); <\output> <\with|mode|math> >e*9-k*sin k+6*e*k*cos k> Maxima calcule dérivées et intégrales, effectue des développements en série de Taylor, trouve les limites, et sait résoudre en valeur exacte les équations différentielles ordinaires. Nous commençons par définir la fonction de la variable numérique par : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > f:x^3*%e^(k*x)*sin(a*x); <\output> <\with|mode|math> >x*e*si\ n a*x> \; On calcule l'expression de la dérivée de par rapport à : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > diff(f,x); <\output> <\with|mode|math> >k*x*e\ *sin a*x+3*x*e*sin a*x+a*x*e*cos a*x> \; Maintenant, on calcule une primitive de par rapport à : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > integrate(f,x); <\output> <\with|mode|math> >k\ +3*a*k+3*a*k+a*k*x+-3*k-3*a*k+3*a\ *k+3*a*x+6*k-12*a*k-18*a*k*x-6*k+36*a*k<\ rsup|2>-6*a*e*sin a*x+-a*k-3*a*k-3*a*k-a*x+6*a*k+12*a*k+6*a*k*x+-18*a*k-12*a*k+6*a*x+24*a*\ k-24*a*k*e*cos a*x|k+4*a*k+6*a*k+4*a*k+a>>> \; Un léger changement de syntaxe fournit l'intégrale définie : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > integrate(1/x^2,x,1,inf); <\output> <\with|mode|math> >1> \; <\input|<\with|color|red> (C13) > integrate(1/x,x,0,inf); <\output> Integral is divergent \ -- an error. \ Quitting. \ To debug this try DEBUGMODE(TRUE);) \; Ensuite, nous définissons la fonction à l'aide de la fonction et du sinus hyperbolique, puis nous trouvons le développement en série de Taylor de à l'ordre 3 au voisinage de . <\session|maxima|default> <\input|maxima] > g:f/sinh(k*x)^4; <\output> <\with|mode|math> >*e*sin a*x|sinh k*x>> \; <\input|<\with|color|red> (C15) > taylor(g,x,0,3); <\output> <\with|mode|math> >>+>-a*k+a*x|6*k>-3*a*k+a*x|6*k>+\> \; La limite de quand tend vers se calcule par l'instruction suivante : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > limit(g,x,0); <\output> <\with|mode|math> >>> \; Maxima peut aussi représenter des dérivées sous une forme non évaluée. On remarquera le signe quotte (') devant l'expression : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > 'diff(y,x); <\output> <\with|mode|math> >*y> \; L'opérateur quotte (') dans l'expression précédente signifie " ne pas évaluer ". Sans ce symbole, Maxima aurait retourné 0 : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > diff(y,x); <\output> <\with|mode|math> >0> \; En utilisant ce symbole quotte ('), on peut écrire des équations différentielles : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > 'diff(y,x,2)+'diff(y,x)+y; <\output> <\with|mode|math> >|d*x>*y+*y+y> \; La fonction ODE2 de Maxima peut résoudre des équations différentielles du premier et second ordre : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > ode2(D19,y,x); <\output> <\with|mode|math> >y=e>*<\ left|(>*sin *x|2>+*cos *x|2>> \; %K1 et %K2 désignent des constantes réelles. Maxima peut calculer le déterminant, l'inverse, les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice qui comporte des éléments symboliques ( c'est à dire des expressions avec des variables algébriques ). On commence par entrer une matrice élément par élément : <\session|maxima|default> <\input|maxima] > m:entermatrix(3,3); <\output> Is the matrix \ 1. Diagonal \ 2. Symmetric \ 3. Antisymmetric \ 4. General \; <\input|<\with|color|red> Answer 1, 2, 3 or 4 : > 4; <\input|<\with|color|red> Row 1 Column 1: > 0; <\input|<\with|color|red> Row 1 Column 2: > 1; <\input|<\with|color|red> Row 1 Column 3: > a; <\input|<\with|color|red> Row 2 Column 1: > 1; <\input|<\with|color|red> Row 2 Column 2: > 0; <\input|<\with|color|red> Row 2 Column 3: > 1; <\input|<\with|color|red> Row 3 Column 1: > 1; <\input|<\with|color|red> Row 3 Column 2: > 1; <\input|<\with|color|red> Row 3 Column 3: > 0; <\output> Matrix entered. <\with|mode|math>