Sur certains produits infinis
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Abstract

Ce papier est essentiellement la troisième chapitre de mon D.E.A. On étudie l'asymptotique des produits de la forme

Cette fonction vérifie l'équation mahlérienne suivante:

L'étude de cette équation est importante, car toute suite mahlérienne est produit de convolution de suites mahlériennes relevant de cette équation et d'une « suite régulière ». On montre que le comportement du -ième coefficient de Taylor dépend essentiellement du module de . Si le module de est inférieur Ě 1, l'analyse des est facile; étant analytique pour , on a:

En revanche le cas donne lieu à des comportements très divers. Dans la quatrième section on montre que pour toute “bonne” fonction , avec , il existe un de module 1, tel que ; ici et . En fait, le comportement des dépend essentiellement du développement en binaire de . Enfin, pour , les restent bornées, mais se comportent de façon extrêmement chaotique. Il y a donc peu de chance que le comportement des rentre dans une échelle asymptotique habituelle.

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